Enigme : BeautyIsland, l'île aux sirènes

Rappel de base : La division euclidienne
La division euclidienne de a par b s'écrit ainsi : a = b*q+ r avec 0<= r < b

r est le reste de la division euclidienne de a par b.
Par exemple : 30 = 7*4 + 2. On dira que 2 est le reste de la division euclidienne de 30 par 7.

Enigme :
Après son escale à la Barbade, le navire YellowKiwiGreen continue sa traversée en direction de la Jamaïque afin d'amener à bon port les centaines de tonnes de kiwis jaunes et verts.
Les 216 marins chanceux (voir l'énigme précédente : Les pièces d'or des marins chanceux) qui ont gagné une pièce d'or sont joyeux et chantonnent des chants traditionnels.
Le soleil se couche sur la mer et le Capitaine semble rêveur en regardant par l'une des fenêtres de la dunette.
Son plus fidèle officier, le lieutenant Ryan, remarque alors cette rêverie.
Ryan : Mon Capitaine, vous semblez rêveur ou inquiet non ?
Capitaine : Oui, je dois bien l'avouer...
Ryan : Que se passe-t-il donc ?
Capitaine : Et bien voilà, la Reine des Sirène, Magnifika, est venue me parler dans mes rêves afin de me proposer un marché.
Ryan : Un marché ? Mais lequel ?
Capitaine : Elle m'a proposé d'épargner les marins pour ce trajet retour (voir la précédente énigme : Les marins et le chant des sirènes) à condition de lui livrer une partie des marins chanceux qui ont gagné une pièce d'or. Il nous suffirait alors de débarquer ces dits marins sur l'île de BeautyIsland et de revenir les chercher un an plus tard.
Ryan : Mais qu'allez-vous faire Mon Capitaine ?
Capitaine : Nous avons déjà eu beaucoup de pertes pour venir à la Barbade, je ne voudrais pas que cela recommence une nouvelle fois. Alors oui, je suis prêt à débarquer une poignée d'hommes pour en sauver plus de 600 autres !
Ryan : Et comment allez-vous faire pour désigner les marins chanceux concernés ?
Capitaine : Oh, un simple calcul suffira et c'est vous, Ryan, qui allez vous y coller !
Ryan : Mais mon Capitaine, et si tout ceci n'était que le ... fruit de votre imagination.
Capitaine : Et bien c'est ce que nous allons voir !
Le Capitaine décrocha le téléphone de la salle des machines. Le marin N°14 décrocha :
N°14 : Numéro 14, j'écoute.
Capitaine : Mettez le cap sur l'île de BeautyIsland, immédiatement !
N°14 : Mais mon Capitaine, se serait se jeter dans la gueule du loup ! De plus le chant des sirènes se fait de plus en plus insistant et la cire dans nos oreilles fait à peine effet !
Capitaine : Obéissez matelot, cap sur BeautyIsland !
N° 14 : A vos ordres mon Capitaine.

Le "YellowKiwiGreen" changea de cap, direction BeautyIsland. La proue du navire fendait la mer et l'écume blanchâtre qui remontait à la surface en se frottant à la coque faisait penser à la chevelure... d'une sirène.
Et puis, tout d'un coup, le chant des sirènes cessa.
Capitaine : Vous voyez, Ryan, vous voyez ! Ou plutôt, vous entendez !
Ryan : Oui, effectivement. Puis-je poser une dernière question ?
Capitaine : Oui, je vous écoute.
Ryan : Qu'est-ce que Magnifika va faire d'une poignée de marins pendant un an ?
Capitaine : Alors là, je n'en ai aucune idée, mais vraiment aucune idée !

Le calcul :
Pour chaque marin chanceux ayant gagné une pièce d'or, Ryan doit calculer le reste de la division euclidienne par 7 du numéro du marin, n, à la puissance p où p est le plus grand nombre premier inférieur ou égal à n.
Autrement dit, Ryan doit déterminer n tel que : n^p = 7*q + r
avec 0<= r <7
Exemples :
Pour le marin N°1, on considère que ce reste vaut 1 (car il n'existe pas de nombre premier inférieur ou égal à 1)
Pour le marin N°15, alors p = 13 et le reste de la division de 15^13 par 7 vaut 1 donc r = 1
Pour le marin N°13, alors p = 13 et le reste de la division de 13^13 par 7 vaut 6 donc r = 6
Pour le marin N°9, alors p = 7 et le reste de la division de 9^7 par 7 vaut 2 donc r = 2

Finalement, les marins qui seront débarqués sur l'île de BeautyIsland seront les marins chanceux dont le reste,r, est égal à 4 (la liste des marins chanceux est donnée ci-après sous la forme d'un fichier texte).

Question :
Combien de marins seront débarqués sur l'île de BeautyIsland et quels sont les numéros de ces marins ?

Nota : les numéros des marins débarqués sont nécessaires au Capitaine afin de tenir à jour son registre de bord.

Ci-joint, la liste des 216 marins chanceux ayant gagné une pièce d'or. Fichier "texte" à télécharger.

 

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