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Travaux pratiques de Mathématiques
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Droite de régression linéaire au sens des moindres carrés
Il s’agit de déterminer les réels
a
et
b
tels que l’écart quadratique moyen
);(
baEQ
soit minimal afin
d’obtenir le coefficient directeur et l’ordonnée à l’origine de la droite, notée
XY
D
/
, la plus proche
possible du nuage de points. Une telle droite est appelée droite de régression linéaire de
Y
en
X
au sens
des moindres carrés.
Covariance
La covariance de
X
et de
Y
est le nombre, noté
) ,
cov(
YX
, défini par la formule suivante :
(
)(
)
YX yx
N
Y yX x
N
YX
N
i
i
i
N
i
i
i
× −⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
− −
=
∑
∑
=
=
1
1
.
1
1 ) ,
cov(
avec :
N
x
x x x
N
X
N
N
i
i
++ +
=
=
∑
=
...
1
2 1
1
et
N
y
y y y
N
Y
N
N
i
i
++ +
=
=
∑
=
...
1
2
1
1
É
cart quadratique moyen minimal
Les valeurs de
a
et
b
telles que l’écart quadratique moyen
);(
baEQ
soit minimal ont les expressions
suivantes :
) (
) ,
cov(
X Var
YX a
=
avec
YX yx
N
YX
N
i
i
i
× −⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
∑
=
1
.
1 ) ,
cov(
et
2
1
2
1 ) (
X x
N
X Var
N
i
i
−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
∑
=
Le point moyen appartient à la droite
XY
D
/
, on en déduit la valeur de
b
:
XaYb
−=
Remarque
La droite de régression linéaire de
Y
en
X
au sens des moindres carrés passe toujours par le point
moyen du nuage
(
)
YXG
;
.
1-1. Coefficient de détermination – Coefficient de corrélation
On note
min
EQ
la valeur minimale de l’écart quadratique moyen
);(
baEQ
pour les valeurs suivantes de
a
et de
b
:
) (
) ,
cov(
X Var
YX a
=
et
XaYb
−=
Pour ces valeurs de
a
et de
b
, la valeur minimale
min
EQ
de l’écart quadratique moyen a l’expression
suivante :
(
)
2
min
1 )(
r
Y Var
EQ
−×
=
avec
)(
) (
) , ( cov
2
2
Y Var
X Var
YX
r
×
=
et
2
1
2
1 )(
Y y
N
Y Var
N
i
i
−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
∑
=
Coefficient de détermination
Le coefficient
2
r
est appelé coefficient de détermination. On a les inégalités suivantes :
1
0
2
≤ ≤
r
et
)(
0
min
Y Var
EQ
≤
≤