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Travaux pratiques de Mathématiques
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1-
La suite de Syracuse
1-1.
Enoncé
On considère une suite d'entiers naturels définie de la manière suivante :
On part d'un nombre entier donné plus grand que zéro :
-
si il est pair, on le divise par 2 ;
-
si il est impair, on le multiplie par 3 et on ajoute 1.
En répétant l’opération, on obtient une suite d'entiers positifs dont chacun des entiers ne dépend que de
son prédécesseur.
Par exemple, à partir de 14, on construit la suite d'entiers naturels :
14, 7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2…
Il s'agit de la suite d’entiers relative au nombre 14.
Dès que le nombre 1 a été atteint, la suite des valeurs 1, 4, 2, 1, 4, 2 … se répète indéfiniment en un
cycle de longueur 3, appelé cycle trivial.
Si l'on était parti d'un autre entier, en lui appliquant les mêmes règles, on aurait obtenu une suite de
nombres différente. A priori, il serait possible que cette suite, à partir de certaines valeurs de départ
n'atteigne jamais la valeur 1, soit qu'elle aboutisse à un cycle différent du cycle trivial, soit qu'elle diverge
vers l'infini. Or, on n'a jamais trouvé d'exemple de suite obtenue suivant les règles données qui n'aboutisse
à 1 et, par suite, au cycle trivial.
1-2.
Travail demandé
1] Ecrire l'algorithme permettant de calculer les 100 premières valeurs de cette suite pour un nombre n
donné.
2] Ecrire le programme correspondant permettant de saisir l'entier n.
3] On appelle la durée de vol le nombre d’entiers qui précède la première apparition du nombre 1. Par
exemple, l’entier 14 a une durée de vol égale à 17. Modifier le programme afin qu’il affiche la durée de
vol de l’entier donné. Utiliser ce programme et donner les durées de vol des entiers A = 27, B = 1245 et
C = 1537.
4] Modifier le programme afin qu’il recherche l’entier N qui a la plus grande durée de vol sachant que N
est compris entre a et b donnés par l’utilisateur. Déterminer l’entier N compris entre 145 et 345.
Faux
Vrai
n est pair
2
n n
=
1 3
+ =
n n