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Travaux pratiques de Mathématiques
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Etude d’une somme
On définie somme
n
S
suivante :
n n
S
n
1
1
1 ...
5
1
4
1
3
1
2
1 1
+
−
++++++=
On démontre que la somme
n
S
tend vers
∞+
lorsque
n
tend vers
∞+
(et pourtant on ajoute des
termes de plus en plus petits qui tendent vers 0).
Le problème consiste à trouver la valeur
n
telle que cette somme
n
S
, dite
série harmonique
, dépasse
d'une valeur arbitraire donnée :
valeur
S
n
>
alors
...
=
n
Travail demandé
1] Ecrire une fonction « function [s]=harmonic(n) » qui, pour un entier
n
passé en paramètre, calcule la
somme
n n
S
n
1
1
1 ...
5
1
4
1
3
1
2
1 1
+
−
++++++=
2] Ecrire un programme dans Scilab :
- demandant à l'utilisateur une valeur strictement plus grande que 1 et plus petite ou égale à 8
- affichant la valeur de
n
nécessaire au dépassement de cette valeur et le résultat de la somme (vous
utiliserez la fonction « harmonic » définie ci-dessus).
Quelle est la valeur de
n
pour que
n
S
dépasse 8 ?
3] Modifier le programme afin de calculer
) ln(
n
S D
n
n
− =
Lancer le programme pour plusieurs valeurs de
n
supérieure à 100. Que remarquez-vous ?
4] On appelle constante d’Euler la valeur suivante :
...
65120
0153286060
5772156649
,0
=
γ
Quelle limite peut-on conjecturer ?