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Travaux pratiques de Mathématiques
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O
A
B
C
D
Méthode d’intégration : Application à l’approximation du nombre Pi
On souhaite étudier une méthode permettant d’obtenir une valeur approchée du nombre
π
.
Principe de la méthode de Monte Carlo
Considérons un disque de rayon 1 inscrit dans un carré (donc de côté 2). Pour plus de simplicité,
considérons le disque de centre
O
, origine d'un repère orthonormal et le carré
ABCD
défini comme sur la
figure ci-dessous.
La méthode repose sur le principe suivant : choisissons un grand nombre de points dans le carré de
manière aléatoire (par exemple on effectue plusieurs tirs sur une cible). La proportion des points se
trouvant dans le disque par rapport à ceux se trouvant dans le carré fournit une valeur approchée de la
proportion de l'aire de ce disque par rapport à l'aire du carré soit ici
4
π
(car l’aire du carré est égale à 4
et l’aire du disque vaut
π
).
En utilisant la fonction rand() de Scilab :
1/ Construire les coordonnées (dans les variables
x
et
y
) d'un point pris aléatoirement dans le carré.
2/ Déterminer si ce point se trouve dans le disque. On rappelle que ce point se trouve dans le disque si :
1
2
2
< +
y x
3/ Comptabiliser le nombre de points se trouvant dans le disque.
Travail demandé
1] Ecrire un algorithme qui répète cette expérience 100 fois puis qui affiche une valeur approchée de
π
.
2] Saisir le programme dans l’éditeur SciNotes de Scilab puis effectuer 100 fois cette expérience avec
Scilab.
3] Au bout de combien d’expériences le résultat s’approche-t-il de 3,14 ?